tokenpocket官方钱包|最大公因数
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2024-03-09 20:30:39
最大公约数_百度百科
数_百度百科 网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心最大公约数播报讨论上传视频数学术语收藏查看我的收藏0有用+10本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，a，b的最小公倍数记为[a，b]。中文名最大公约数外文名Greatest Common Divisor(GCD)别 名Highest Common Factor(HCF)所属学科数学基本概念多个整数共有约数中最大的一个相对应概念最小公倍数目录1基本概念2求法▪质因数分解法▪短除法▪辗转相除法▪更相减损法3常用结论4历史发展5性质6程序实现▪java实现▪PASCAL▪C语言基本概念播报编辑如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。约数和倍数都表示一个整数与另一个整数的关系，不能单独存在。如只能说16是某数的倍数，2是某数的约数，而不能孤立地说16是倍数，2是约数。"倍"与"倍数"是不同的两个概念，"倍"是指两个数相除的商，它可以是整数、小数或者分数。"倍数"只是在数的整除的范围内，相对于"约数"而言的一个数字的概念，表示的是能被某一个自然数整除的数。几个整数中公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：12、16的公约数有1、2、4，其中最大的一个是4，4是12与16的最大公约数，一般记为（12，16）=4。12、15、18的最大公约数是3，记为（12，15，18）=3。几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数，叫做这几个数的最小公倍数。例如：4的倍数有4、8、12、16，……，6的倍数有6、12、18、24，……，4和6的公倍数有12、24，……，其中最小的是12，一般记为[4，6]=12。12、15、18的最小公倍数是180。记为[12，15，18]=180。若干个互质数的最小公倍数为它们的乘积的绝对值。求法播报编辑质因数分解法质因数分解(9张)质因数分解法：把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。例如：求24和60的最大公约数，先分解质因数，得24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24与60的全部公有的质因数是2、2、3，它们的积是2×2×3=12，所以，（24，60）=12。把几个数先分别分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。例如：求6和15的最小公倍数。先分解质因数，得6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的质因数是3，6独有质因数是2，15独有的质因数是5，2×3×5=30，30里面包含6的全部质因数2和3，还包含了15的全部质因数3和5，且30是6和15的公倍数中最小的一个，所以[6，15]=30。短除法短除法：短除法求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。短除法求最小公倍数，先用这几个数的公约数去除每个数，再用部分数的公约数去除，并把不能整除的数移下来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数，例如，求12、15、18的最小公倍数。短除法的本质就是质因数分解法，只是将质因数分解用短除符号来进行。短除符号就是除号倒过来。短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后落下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止（两个数互质）。而在用短除计算多个数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因数的数则原样落下。直到剩下每两个都是互质关系。求最大公因数便乘一边，求最小公倍数便乘一圈。无论是短除法，还是分解质因数法，在质因数较大时，都会觉得困难。这时就需要用新的方法。辗转相除法辗转相除法：辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫欧几里德算法。例如，求（319，377）：∵ 319÷377=0（余319）∴（319，377）=（377，319）；∵ 377÷319=1（余58）∴（377，319）=（319，58）；∵ 319÷58=5（余29）∴ （319，58）=（58，29）；∵ 58÷29=2（余0）∴ （58，29）= 29；∴ （319，377）=29。可以写成右边的格式。用辗转相除法求几个数的最大公约数，可以先求出其中任意两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数，依次求下去，直到最后一个数为止。最后所得的那个最大公约数，就是所有这些数的最大公约数。更相减损法更相减损法：也叫更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”翻译成现代语言如下：第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。所以更相减损法也叫等值算法。例1．用更相减损术求98与63的最大公约数。解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=7所以，98和63的最大公约数等于7。这个过程可以简单的写为：（98，63）=（35，63）=（35，28）=（7，28）=（7，21）=（7，14）=（7，7）=7.例2．用更相减损术求260和104的最大公约数。解：由于260和104均为偶数，首先用2约简得到130和52，再用2约简得到65和26。此时65是奇数而26不是奇数，故把65和26辗转相减：65-26=3939-26=1326-13=13所以，260与104的最大公约数等于13乘以第一步中约掉的两个2，即13*2*2=52。这个过程可以简单地写为：（260,104）(/2/2) =>（65,26）=（39,26）=（13,26）=（13,13）=13. (*2*2) => 52 [1]比较辗转相除法与更相减损术的区别（1）都是求最大公因数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。 [2-3]常用结论播报编辑在解有关最大公约数、最小公倍数的问题时，常用到以下结论：（1）如果两个自然数是互质数，那么它们的最大公约数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。例如8和9，它们是互质数，所以（8，9）=1，[8，9]=72。（2）如果两个自然数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公约数，较大数就是这两个数的最小公倍数。例如18与3，18÷3=6，所以（18，3）=3，[18，3]=18。（3）两个整数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数。例如8和14分别除以它们的最大公约数2，所得的商分别为4和7，那么4和7是互质数。（4）两个自然数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。例如12和16，（12，16）=4，[12，16]=48，有4×48=12×16，即（12，16）× [12，16]=12×16。（5）（裴蜀定理）GCD(a,b) is the smallest positive linear combination of a and b. a与b的最大公约数是最小的a与b的正线性组合,即对于方程xa+yb=c来说,若x,a,y,b都为整数,那么c的最小正根为gcd(a,b).历史发展播报编辑在求解最大公约数的几种方法中，辗转相除法最为出名。辗转相除法是仍然在使用的历史最悠久的算法之一。它首次出现于几何原本（卷7命题1–2、卷10命题2–3）（大约公元前300年）。在卷7中用于整数，在卷10中用于线段的长度（也就是所说的实数，但是当时未有实数的概念）。卷10中出现的算法是几何的，两段线段a和b的最大公约数是准确测量a和b的最大长度。这个算法可能并非欧几里得发明，而仅仅是将先人的结果编进他的几何原本。数学家、历史学家范德瓦尔登认为卷7的内容可能来自毕达哥拉斯学院出身的数学家写的关于数论的教科书。辗转相除法是被大约公元前375年的欧多克斯发现的，但也有可能更早之前就已经存在，因为欧几里得和亚里士多德的这两位历史名人著作中都出现了ἀνθυφαίρεσις一词（anthyphairesis, 意为“辗转相减”），几个世纪之后，辗转相除法又分别被中国人和印度人独立发现，主要用来解天文学中用到的丢番图方程以及指定准确的历法。5世纪末，印度数学家、天文学家阿里亚哈塔可能是因为辗转相除法在解丢番图方程时的高效率而称它为“粉碎机”。因为在中国，孙子算经中出现了此算法的一个特例中国剩余定理，但是辗转相除法的完整表述直到1247年秦九韶的数学九章中才出现。在欧洲，辗转相除法首次出现于克劳德·巴希特（英语：Claude Gaspard Bachet de Méziriac）的著作Problèmes plaisants et délectables的第二版在欧洲，辗转相除法广泛使用于丢番图方程和连分数。后来，英国数学家桑德森（英语：Nicholas Saunderson）将扩展欧几里得算法作为罗杰科茨（英语：Roger Cotes）对计算连分数的方法的研究发表。19世纪，辗转相除法孕育出了一些新的数系，如高斯整数和艾森斯坦整数。1815年，高斯用辗转相除法证明高斯整数的分解是惟一的，他的研究发表于1832年。高斯在他的《算数研究》（published 1801）中，作为处理连分数的方法提到了这个算法。约翰·狄利克雷是第一个将辗转相除法作为数论的基础的数学家。狄利克雷提出，数论中的很多结论，如分解的惟一性，在任何使辗转相除法成立的数系中有效。狄利克雷的观点被理查德·戴德金修改和推广，他用辗转相除法研究代数整数。戴德金是第一个用高斯整数的分解惟一性证明费马平方和定理的数学家。戴德金还率先定义了欧几里得整环的概念。19世纪末，辗转相除法的辉煌逐渐被戴德金的理想取代。辗转相除法的其他应用发展于19世纪。1829年，施图姆将辗转相除法用于施图姆序列（用于确定多项式的不同实根的个数的方法）。辗转相除法是历史上第一个整数关系算法（英语：integer relation algorithm），即寻找两数的整数关系的算法。 近年来，出现了一些新颖的整数关系算法，如埃拉曼·弗格森（英语：Helaman Ferguson）和福尔卡德于1979年发表的弗格森-福尔卡德算法、以及与它相关的LLL算法（英语：Lenstra–Lenstra–Lovász lattice basis reduction algorithm）、HJLS算法以及PSLQ算法（英语：PSLQ algorithm）。1969年，科尔(Cole)和戴维(Davie)基于辗转相除法创造了一种二人游戏，叫做欧几里得游戏。这个游戏有最优策略。游戏开始于两列分别为a和b个棋子组成的序列，玩家轮流从较长一列中取走较短一列棋子数量的m倍的棋子。如果两列棋子a和b分别由x和y个棋子组成，其中x大于y，那么玩家可以序列a的棋子数量减少为自然数x − my。最后率先将一列棋子清空的玩家胜出。扩展欧几里得算法扩展欧几里德算法：扩展欧几里得算法（又称扩充欧几里得算法）是用来解某一类特定的不定方程的一种方法，常用用来求解模线性方程及方程组。扩展的欧几里得算法可以用来计算模逆元，而模逆元在公钥密码学中占有举足轻重的地位。 [4]基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。证明：设 a>b。1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；2，ab≠0 时设 ax1+by1=gcd(a,b);bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);则：ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;即：ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。 [5]Stein算法欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，无论从理论还是从实际效率上都是很好的。但是却有一个致命的缺陷，这个缺陷在素数比较小的时候一般是感觉不到的，只有在大素数时才会显现出来。Stein算法由J. Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。 [6]Stein算法：设置A1=A、B1=B和C1=11、如果An=0，Bn*Cn是最大公约数，算法结束2、如果Bn=0，An*Cn是最大公约数，算法结束3、如果An和Bn都是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn/2，Cn+1=Cn*2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)4、如果An是偶数，Bn不是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn，Cn+1=Cn (很显然啦，2不是奇数的约数)5、如果Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1=Bn/2，An+1=An，Cn+1=Cn (很显然啦，2不是奇数的约数)6、如果An和Bn都不是偶数，则An+1=|An-Bn|，Bn+1=min(An,Bn)，Cn+1=Cn7、n加1，转步骤1考虑欧几里德算法，最恶劣的情况是，每次迭代a=2b-1,这样，迭代后，r=b-1。如果a小于2N，这样大约需要4N次迭代。而考虑Stein算法，每次迭代后，显然A(n+1)B(n+1)≤AnBn/2，最大迭代次数也不超过4N次。也就是说，迭代次数几乎是相等的。但是，需要注意的是，对于大素数，试商法将使每次迭代都更复杂，因此对于大素数Stein将更有优势。 [7]性质播报编辑重要性质：gcd(a,b)=gcd(b,a) （交换律）gcd(-a,b)=gcd(a,b)gcd(a,a)=|a|gcd(a,0)=|a|gcd(a,1)=1gcd(a,b)=gcd(b, a mod b)gcd(a,b)=gcd(b, a-b)如果有附加的一个自然数m,则: gcd(ma,mb)=m * gcd(a,b) (分配律)gcd(a+mb ,b)=gcd(a,b)如果m是a和b的最大公约数，则： gcd(a/m ,b/m)=gcd(a,b)/m两个整数的最大公约数主要有两种寻找方法：* 两数各分解质因数，然后取出同样有的质因数乘起来*辗转相除法（扩展版）和最小公倍数（lcm）的关系：gcd(a, b) * lcm(a, b) = aba与b有最大公约数，两个整数的最大公因子可用于计算两数的最小公倍数，或分数化简成最简分数。两个整数的最大公因子和最小公倍数中存在分配律：* gcd(a, lcm(b, c)) = lcm(gcd(a, b), gcd(a, c))* lcm(a, gcd(b, c)) = gcd(lcm(a, b), lcm(a, c))在坐标里，将点(0, 0)和(a, b)连起来，通过整数坐标的点的数目（除了(0, 0)一点之外）就是gcd(a, b)。程序实现播报编辑java实现import java.util.Scanner;public class Six {
public static void main(String[] args) {
System.out.print("请输入a和b");
Scanner scan = new Scanner(System.in);//以空格作为分隔符
int a = scan.nextInt();
int b = scan.nextInt();
int middle1,middle2,middle3;
middle1=a;
middle2=b;
middle3=0;
for (int i=0;i middle3=middle1%middle2; if(middle3==0) break; else{ middle1=middle2; middle2=middle3; } } System.out.println("最大公约数为："+middle2); } }PASCALprogramzuidagongyueshu; var m,n,a,b,r:integer; begin//主程序 write('Inputm,n='); readln(m,n); a:=m; b:=n; repeat r:=amodb; a:=b; b:=r; untilr b=0; writeln('Thegreatestcommondivideis:',a); end.【递归算法】programgcd; var k,a,b:integer; functiongcd(a,b:integer):integer; begin ifamodb=0thenexit(b) elsegcd:=gcd(b,amodb); end; begin readln(a,b); k:=gcd(a,b); writeln(k); end.C语言#include int main() { int m,n,i; scanf("%d",&m); scanf("%d",&n); for(i=m;i>=1;i--) if(m%i==0 && n%i==0) break; printf("%d\n",i); return 0; }递归算法1.C语言程序如下： #include #include /* * 最大公约数的递归： * 1、若a可以整除b，则最大公约数是b * 2、如果1不成立，最大公约数便是b与a%b的最大公约数 * 示例：求(140,21) * 140%21 = 14 * 21%14 = 7 * 14%7 = 0 * 返回7 * */ int gcd(int a,int b){ if(a%b==0) return b; return gcd(b,a%b); } int main(void){ int a=10,b=8; scanf("%d %d",&a,&b); printf("GCD: A=>%d, B=>%d (A,B)=%d\n",a,b,gcd(a,b)); return 0; }C++: int gcd(int a,int b) { int temp; while(b) { /*利用辗除法，直到b为0为止*/ temp = b; b = a % b; a = temp; } return a; } #include using namespace std; int main() { int m,n; cin>>m>>n; cout<<__gcd(m,n); } 分数的最大公约数为：例（5/6，5/9）=（5,5）/【6,9】=5/18 递归算法(c++实现)2.C++程序如下： #include int GCD(int a,int b) { return a%b?GCD(b,a%b):b; } int main() { int x,y; scanf("%d%d",&x,&y); printf("%d",GCD(x,y)); return 0; } 3.辗转相除法(Matlab实现) function GCD=Euclid(m,n) %辗转相除法(即欧几里德算法)。 r=mod(m,n); while r~=0 r=mod(m,n); m=n; n=r; end GCD=m; >> m=319;n=377;Euclid(m,n) ans = 294.递归算法（Python实现） def gcd(n1,n2): """greatest common divisor function """ if(n1%n2 == 0): return n2 return gcd(n2,n1%n2)新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号 京公网安备110000020000 求最大公因数的两种方法（高效方法）_求最大公因数的方法-CSDN博客 求最大公因数的两种方法（高效方法） 最新推荐文章于 2024-02-06 20:59:11 发布 李小白~ 最新推荐文章于 2024-02-06 20:59:11 发布 阅读量3.4w 收藏 151 点赞数 54 分类专栏： 基础算法 版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。 本文链接：https://blog.csdn.net/qq_40941722/article/details/94555022 版权 基础算法 专栏收录该内容 7 篇文章 106 订阅 订阅专栏 给定两个数，例如 a = 27 , b = 12 a=27, b=12 a=27,b=12，我们知道a, b的最大公因数为3。 下面将介绍两种求最大公因数的高效方法： （1）辗转相除法 辗转相除法有一个高大上的名字：欧几里得法。 下面模拟辗转相除法求a, b的最大公因数： Created with Raphaël 2.2.0 开始 a = 27, b = 12 c = a%b a = b, b =c b=0？ 输出最大公因数a 结束 yes no 辗转相除法的代码如下：这里采用递归，并且是精简形式。 int gcd_1(int a, int b){ return b == 0 ? a:gcd_1(b, a%b); } （2）辗转相减法 辗转相减法也有一个高大上的名字：尼考曼彻斯法。 下面模拟辗转相减法求a, b的最大公因数： Created with Raphaël 2.2.0 开始 a = 27, b = 12 a>b? a = a - b a b = b - a 输出最大公因数a 结束 yes no yes no 辗转相减法的代码如下：这里也采用递归，并且也是精简形式。 int gcd_2(int a, int b){ return a == b ? a:gcd_2(a>b ? a-b:a, b>a ? b-a:b); } 优惠劵 李小白~ 关注 关注 54 点赞 踩 151 收藏 觉得还不错? 一键收藏 知道了 7 评论 求最大公因数的两种方法（高效方法） 给定两个数，例如a=27,b=12a=27, b=12a=27,b=12，我们知道a, b的最大公因数为3。下面将介绍两种求最大公因数的高效方法：（1）辗转相除法辗转相除法有一个高大上的名字：欧几里得法。下面模拟辗转相除法求a, b的最大公因数：Created with Raphaël 2.2.0开始a = 27, b = 12c = a%ba = b, b =cb=0？输出最大公因数... 复制链接 扫一扫 专栏目录 用求最大公因数的方法解决实际问题.docx 09-12 用求最大公因数的方法解决实际问题.docx 算法_用欧几里得算法求最大公因数_ 09-29 用扩展欧几里得算法求任意两个数字的最大公因数 7 条评论 您还未登录，请先 登录 后发表或查看评论 求最大公因数的几种算法 qwesndc的博客 03-25 1万+ 我们经常会遇到有关数论的题目，求解最大公因数便是常见的题目之一，以下为几种常见的方法，他们的主要结构均为递归
（1）辗转相除法
这便是著名的欧几里得算法
Euclid规则：如果x和y是正整数，且有x>=y，那么gcd(x,y)=gcd(x mod y,y)。
int gcd(int a,int b)
{
if(a {
swap(a,b);
}
if(b==0)
{
... CFA一级前导:: 计算器使用教程1~7 第一节 最新发布 三分钟热度 02-06 467 1-1 Overview of Calculator Operations 1-2 Overview of Calculator Operations 1-3 Overview of Calculator Operations 2-1 Time-Value-of-Money and Amortization Worksheets 3-1 Cash Flow Worksheet 4-1 Bond Worksheet 5-1 Depreci 求最大公因数的三种算法及简要说明 Steve1649的博客 03-08 6700 求最大公因数的三种算法及简要说明 1、连续整数法 从给定的最小的数开始按1递减，直至找到一个能被两者都整除的数。 public static int gcd1(int x, int y){ int min = Math.min(x,y); while (x%min!=0|| y%min!=0){ min--; } return min; } 2、辗转相除法 也叫欧几里得算法，两个整数的最大公约数等于其中较小的 求两个多位大数的最大公因数算法 03-25 求两个多位大数的最大公因数算法，C++语言编写（Maximum common factor of large numbers） c++求最大公因数和最小公倍数，利用最大公因数法求最小公倍数 02-24 c++求最大公因数和最小公倍数，利用最大公因数法求最小公倍数。 求最大公约数的4种方法C语言（辗转相除法、辗转相减法、穷举法、递归法） kim的博客 05-12 1万+ 最大公约数，也称最大公因数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。 问题描述 随机输入两个数，求其最大公约数 辗转相除法（欧几里得算法） 辗转相除法依赖于一个定理： 两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数取模的最大公约数。 即：gcd (x , y) = gcd (y , x % y ) ，其中 x > y。 代码实现 递归法 计算最大公约数gcd(m,n)，用递归形式定义如下： 若m%n等于0，则gcd(m,n)等与n 否.. 求两个数的最大公约数(辗转相减法) 莫秃 11-12 9471 更相减损法：也叫更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。 《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。” 翻译成现代语言如下： 第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；... 三种方法求两个数最大公因数 热门推荐 qq_40146984的博客 09-08 2万+ 1.题目描述： 求两个正整数的最大公约数和最小公倍数。 基本要求：1.程序风格良好(使用自定义注释模板)，两种以上算法解决最大公约数问题，提供友好的输入输出。 提高要求：1.三种以上算法解决两个正整数最大公约数问题。 2.求3个正整数的最大公约数和最小公倍数。 2.程序源码及解题原理 （1）相减法（C/C++） 原理：有两整数a和b： ① 若a&gt;b，则a=a-b ②... 辗转相减法求最大公约数 Dawn_xumujie的博客 05-02 1万+ 第一次接触这个算法，同时也觉得很奇妙，在本文加以练习，并与大家分享。 辗转相减法是一种简便的求出两数最大公约数的方法。（更相减损术） 辗转相减法(求最大公约数)，即尼考曼彻斯法，其特色是做一系列减法，从而求得最大公约数。例如 :两个自然数35和14，用大数减去小数，(35,14)->(21,14)->(7,14)，此时，7小于14，要做一次交换，把14作为被减数，即(14,7)-&... 【求最大公因数的方法】 qq_48336929的博客 11-25 829 总结一下：【求最大公因数的方法】 方法1：穷举法 //求最大公约数方法1：穷举法 private static int maxCommon1(int a,int b){ if(a int tmp=a; a=b; b=tmp; } //如果b能直接整除a，说明b是它们的最大公约数 if(a%b== C++求四个正整数最大公约数的方法 12-26 本文实例讲述了C++求四个正整数最大公约数的方法。分享给大家供大家参考，具体如下： /* * 作 者： 刘同宾 * 完成日期：2012 年 11 月 16 日 * 版 本 号：v1.0 * * 输入描述： 输入四个正整数，输出其最大公约数。 * 问题描述： * 程序输出： * 问题分析：略 * 算法设计：略 */ #include using namespace std; int f(int,int); int g(int,int,int,int); int main() { int a,b,c,d; cout<<"请输入四个正整数："< 详解C语言求两个数的最大公约数及最小公倍数的方法 01-21 求两个正整数的最大公约数 思路：这是一个很基本的问题，最常见的就是两种方法，辗转相除法和辗转相减法。通式分别为 f(x, y) = f(y, x%y), f(x, y) = f(y, x – y) (x >=y > 0)。根据通式写出算法不难，这里就不给出了。这里给出《编程之美》上的算法，主要是为了减少迭代的次数。 对于x和y，如果y = k * y1, x= k * x1，那么f(x, y) = k * f(x1, y1)。另外，如果x = p * x1，假设p为素数，并且y % p != 0，那么f(x, y) = f(p * x1, y) = f(x1, y)。取p 小学数学求最大公因数特殊方法PPT教案.pptx 10-04 小学数学求最大公因数特殊方法PPT教案.pptx 找最大公因数练习题及答案精选.doc 09-25 找最大公因数练习题及答案精选.doc FPGA求最大公约数及最小公倍数verilog 07-05 基于FPGA开发板的两位数求最大公约数和最小公倍数的设计，该设计中利用辗转相减法求得公约数与公倍数，且两个数的数值可通过按键修改，设计灵活可靠。该设计基于vivado开发，并带有testbench文件，方便仿真学习。 求两个数的最大公因数数和最小公倍数.cpp 12-17 输入两个数字，可以求这两个数字的最大公约数和最小公倍数。输入的两个数字之间用空格隔开。输入之后回车确定 欧几里德算法求最大公约数——C++代码 06-08 课程的随堂作业，C语言的，用dev就能运行，萌新代码，勿喷，仅仅帮助不想写作业的朋友方便一下，反正老师也不会仔细检查的 求最大公因数和最小公倍数 10-23 最大公因数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指两个或多个整数共有约数中最大的一个。最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是指能够同时被两个或多个整数整除的最小正整数。求最大公因数和最小公倍数的方法有很多种，其中比较常用的方法是质因数分解法和辗转相除法。 质因数分解法是将两个数分别分解质因数，然后将它们的公共质因数相乘，即为它们的最大公因数；将它们的所有质因数相乘，再除以它们的最大公因数，即为它们的最小公倍数。 辗转相除法又称欧几里得算法，是求两个正整数的最大公约数的一种方法。它的具体做法是：用较大的数除以较小的数，再用余数去除较小的数，如此反复，直到余数为零时，最后的除数就是这两个数的最大公约数。最小公倍数可以通过两个数的乘积除以它们的最大公约数来求得。 “相关推荐”对你有帮助么？ 非常没帮助 没帮助 一般 有帮助 非常有帮助 提交 李小白~ CSDN认证博客专家 CSDN认证企业博客 码龄6年 暂无认证 265 原创 3万+ 周排名 133万+ 总排名 80万+ 访问 等级 7646 积分 716 粉丝 3293 获赞 373 评论 8821 收藏 私信 关注 热门文章 快速排序法（详解） 577655 求最大公因数的两种方法（高效方法） 34158 单链表原地逆置 17383 树状数组（简单介绍） 17346 AVL树简介 13188 分类专栏 LeetCode 89篇 填坑记录 1篇 PAT（乙级） 5篇 基础算法 7篇 PAT（甲级） 130篇 深度学习 3篇 服务器配置 3篇 源码解析 2篇 数据结构算法 9篇 前端 3篇 挑战程序设计竞赛 2篇 最新评论 快速排序法（详解） cadence.: 第一个if判断，写个bigan大于等于end吧 快速排序法（详解） cadence.: 没看作者强调的是先移动j吗？ 快速排序法（详解） 杳.18: 引用「再友情提醒，每次必须是哨兵j先出发）」 （再友情提醒，每次必须是哨兵j先出发） 为什么必须是j先出发，i先出发不可以吗？ 7. 整数反转（整数溢出问题） 耀神: res == Integer.MAX_VALUE/10 && t > 7 这种情况按照题目要求（给出一个32为有符号的整数）应该是不存在的，还有后面等于最小值的那个，同样不需要考虑 快速排序法（详解） 山河清风悠: NBNB 您愿意向朋友推荐“博客详情页”吗？ 强烈不推荐 不推荐 一般般 推荐 强烈推荐 提交 最新文章 92. 反转链表 II（java链表） 91. 解码方法（字符串） 90. 子集 II（技巧） 2020年244篇 2019年23篇 目录 目录 分类专栏 LeetCode 89篇 填坑记录 1篇 PAT（乙级） 5篇 基础算法 7篇 PAT（甲级） 130篇 深度学习 3篇 服务器配置 3篇 源码解析 2篇 数据结构算法 9篇 前端 3篇 挑战程序设计竞赛 2篇 目录 评论 7 被折叠的 条评论 为什么被折叠? 到【灌水乐园】发言 查看更多评论 添加红包 祝福语 请填写红包祝福语或标题 红包数量 个 红包个数最小为10个 红包总金额 元 红包金额最低5元 余额支付 当前余额3.43元 前往充值 > 需支付：10.00元 取消 确定 下一步 知道了 成就一亿技术人! 领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则 hope_wisdom 发出的红包 实付元 使用余额支付 点击重新获取 扫码支付 钱包余额 0 抵扣说明： 1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。 2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。 余额充值 数论（一）整除 2. 最大公因数、辗转相除法与 Bézout 等式 - 知乎首发于初等数论切换模式写文章登录/注册数论（一）整除 2. 最大公因数、辗转相除法与 Bézout 等式George2.1. 最大公因数Definition 设 a_1, a_2, \cdots, a_n 是 n (n \geqslant 2) 个整数. 若整数 d 是它们之中每一个的因数, 那么 d 称为 a_1, a_2, \cdots, a_n 的一个公因数 (common divisor). 整数 a_1, a_2, \cdots, a_n 的公因数中最大的一个叫作最大公因数 (greatest common divisor, gcd), 记作 \gcd \left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right) 或 \left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right).若 \left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)=1, 则称 a_1, a_2, \cdots, a_n 互素 (relatively prime, coprime), 若 a_1, a_2, \cdots, a_n 中每两个整数互素, 则称它们两两互素.容易看出, 最大公因数一定是正的且是唯一的; \left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)=\left(\left|a_1\right|,\left|a_2\right|, \cdots,\left|a_n\right|\right); (0, b) =|b|.根据定义和整除的性质容易得出, 对任意的整数 x, a_1, a_2 的公因数与 a_1, a_2, a_1 x 的公因数 (集合) 相等; a_1, a_2 的公因数与 a_1, a_2+a_1 x 的公因数相等, 因此它们的最大公因数也相等. 即Theorem (i) 对任意的整数 x, (a_1, a_2) = (a_1, a_2, a_1 x), 一般地, (a_1, \cdots, a_k)=(a_1, \cdots, a_k, a_1 x);(ii) 对任意整数 x, (a_1, a_2) = (a_1, a_2+a_1 x), 一般地, (a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k) = (a_1, a_2+a_1 x, a_3, \cdots,a_k).2.2. 辗转相除法Theorem 若 a=b q+r, 其中 a, b, r 为整数 (a, b 不全为 0), 则(a, b)=(r, b) .\\Proof. 根据上定理的 (ii), (a,b) = (a-bq, b) = (r, b). \quad \blacksquare定理说明, 余数 r 可做原数 a 的"替身"去求最大公因数. 我们又可找 b 的替身 r_1 代替 b, 等等. 如此继续, 就是著名的辗转相除法 (Euclidean algorithm):\begin{array}{clc} & a=b q_0+r_1, & 0 m\left(b_1, \cdots, b_k\right) \mid m b_j(1 \leqslant j \leqslant k) 推出m\left(b_1, \cdots, b_k\right) \mid\left(m b_1, \cdots, m b_k\right) \text {; }\\由 \left(m b_1, \cdots, m b_k\right) \mid m b_j(1 \leqslant j \leqslant k), 推出\left(m b_1, \cdots, m b_k\right) \mid\left(m b_1\right) y_1+\cdots+\left(m b_k\right) y_k=m\left(b_1, \cdots, b_k\right) \text {. }\\由以上两式, m\left(b_1, \cdots, b_k\right)=\left(m b_1, \cdots, m b_k\right).(ii) 由 Bézout 等式, 可设\begin{aligned} (m, b) & =m x_1+b x_2, \\ (m, a b) & =m y_1+(a b) y_2 . \end{aligned}\\由 (m, b) \mid m, (m, b)\mid b 及第二式就推出 (m, b) \mid(m, a b). 由 (m, a)=1 及 Bézout 等式知, 存在 z_1, z_2, 使得m z_1+a z_2=1,\\因而有\begin{aligned} (m, b) & =\left(m x_1+b x_2\right)\left(m z_1+a z_2\right) \\ & =m\left(m x_1 z_1+a x_1 z_2+b x_2 z_1\right)+(a b)\left(x_2 z_2\right) . \end{aligned}\\由此及 (m, a b)\mid m, (m, a b)\mid a b 就推出 (m, a b) \mid(m, b). 所以 (m, a b)=(m, b).(iii) 由 Bézout 等式及 (m, a)=1 知存在 z_1, z_2, 使得m z_1+a z_2=1,\\所以有 m\left(b z_1\right)+ (a b) z_2=b. 由此及 m \mid a b 即得 m \mid b. $$(iv) 因为 (a_i, b_j) = 1, 由 (ii), 有\begin{aligned} \left(a_1 a_2 \cdots a_n \text{, } b_j\right) & =\left(a_2 a_3 \cdots a_n \text{, } b_j\right) \\ & =\cdots=\left(a_n \text{, } b_j\right)=1 \text{, } j=1,2, \cdots, m . \end{aligned}再用一次 (ii),\begin{aligned} \left(a_1 a_2 \cdots a_n \text{, } b_1 b_2 \cdots b_m\right) & =\left(a_1 a_2 \cdots a_n \text{, } b_2 b_3 \cdots b_m\right) \\ & =\cdots=\left(a_1 a_2 \cdots a_n \text{, } b_m\right)=1. \quad \blacksquare \end{aligned}下面的定理说明求若干个数的最大公因数可以归结为求两个数的最大公因数的情形, 求若干个数的最大公因数, 可以先将这些数任意分组, 分別求出各组数的最大公因数, 然后再求这些最大公因数的最大公因数.Theorem (i) \left(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k\right)=\left(\left(a_1, a_2\right), a_3, \cdots, a_k\right);(ii) \left(a_1, \cdots, a_{k-1}, a_k\right)=\left(\left(a_1, \cdots, a_{k-1}\right), a_k\right);(iii) \left(a_1, \cdots, a_{k+r}\right)=\left(\left(a_1, \cdots, a_k\right),\left(a_{k+1}, \cdots, a_{k+r}\right)\right).Proof. (i) 由最大公因数的定义, 左边 \mid a_i (i=1, 2, \cdots k), 从而是 a_1, a_2 的公因数, 进而整除 (a_1, a_2), 所以左边是 \left(a_1, a_2\right), a_3, \cdots, a_k 的公因数, 从而左边 \mid \left(\left(a_1, a_2\right), a_3, \cdots, a_k\right)= 右边. 反之, 右边整除 \left(a_1, a_2\right), a_3, \cdots, a_k, 因为右边 \mid (a_1,a_2), 所以右边整除 a_1 和 a_2, 所以右边是 a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k 的公因数, 从而右边 \mid (a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k) = 左边. 所以左边 = 右边.类似可证 (ii), (iii). \quad \blacksquare2.5. 最小公倍数Definition 设 a_1, a_2, \cdots, a_n 是 n (n \geqslant 2) 个整数. 若 d 是这 n 个数的倍数, 则 d 就叫作这 n 个数的一个公倍数 (common multiple). 在 a_1, a_2, \cdots, a_n 的一切公倍数中的最小的正数叫作它们的最小公倍数 (least common multiple, LCM), 记作 \operatorname{LCM} \left[a_1, a_2, \cdots , a_n\right] 或 \left[a_1, a_2, \cdots , a_n\right].由于任何正数都不是 0 的倍数, 故讨论整数的最小公倍数时, 一概假定这些整数都不是零.由定义易得, \left[a_1, a_2, \cdots, a_n\right]=\left[\left|a_1\right|,\left|a_2\right|, \cdots,\left|a_n\right|\right].与公因数类似, 公倍数一定是最小公倍数的倍数. 这是最小公倍数的本质属性.Theorem m 是 a_j (1 \leqslant j \leqslant k) 的公倍数 (a_j \mid m) 当且仅当 \left[a_1, \cdots, a_k\right] \mid m.Proof. 设 m^{\prime} 是 a, b 的一个公倍数. 由定义可设m^{\prime}=a k=b k^{\prime} .\\在等式 a k=b k^{\prime} 两边约去 (a,b), 得\frac{a}{(a,b)} k=\frac{b}{(a,b)} k^{\prime} \text {. }\\所以 \frac{b}{(a,b)} \mid \frac{a}{(a,b)} k, 由于 \left(\frac{a}{(a,b)}, \frac{b}{(a,b)}\right)=1, 故 \frac{b}{(a,b)} \mid k. 因此存在整数 t 使得 k= t \cdot \frac{b}{(a,b)}, 故m^{\prime}= t \cdot \frac{a b}{(a, b)}.\\反过来, 当 t 为任一整数时, \frac{a b}{(a, b)} t 为 a, b 的一个公倍数, 故上式可以表示 a, b 的一切公倍数. 令 t=1 即得到最小的正数, 故[a, b]=\frac{a b}{(a, b)} \text {, }\\m^\prime = t\cdot [a, b] \text{, } t \in \mathbb{Z}. \quad \blacksquare \\Corollary 设 a, b 是任意两个正整数, 则 a, b 的最小公倍数[a, b]=\frac{a b}{(a, b)}.\\特别地, 若 (a, b)=1, 则 [a, b]=a \cdot b.与最大公因数类似, 求多个数的最小公倍数也可以通过不断求两个数的最小公倍数实现.Theorem 设 a_1, a_2, \cdots, a_n 是 n 个正整数, 令\left[a_1, a_2\right]=m_2 \text{, } \left[m_2, a_3\right]=m_3 \text{, } \cdots \text{, } \left[m_{n-1} \text{, } a_n\right]=m_n .\\则\left[a_1, a_2, \cdots, a_n\right]=m_n .\\Proof. 由 m_i 的构造, m_i \mid m_{i+1}, i=2,3, \cdots, n-1, 且 a_1 \mid m_2, a_i \mid m_i, i=2,3, \cdots, n, 故 m_n 是 a_1, a_2, \cdots, a_n 的一个公倍数. 反之, 设 m 是 a_1, a_2, \cdots, a_n 的任一公倍数, 则 a_1 \mid m, a_2 \mid m, 则 m 是 a_1,a_2 的公倍数, 故m_2 \mid m. 又 a_3 \mid m, 同理得 m_3 \mid m. 依此类推, 最后得 m_n \mid m. 因此 m_n \leqslant|m|. 故m_n=\left[a_1, a_2, \cdots, a_n\right] . \quad \blacksquare \\本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布编辑于 2023-01-31 16:23・IP 属地重庆数学数论代数赞同 2添加评论分享喜欢收藏申请转载文章被以下专栏收录初等数论初等数论学 数论学习笔记1---最大公因数 - 知乎首发于数论切换模式写文章登录/注册数论学习笔记1---最大公因数0d00的起爆器本文给出一些简单的性质和证明.定理1a,b 是整数,且gcd(a,b)=d,那么gcd(a/d,b/d)=1证明:若不然,设gcd(a/d,b/d)=e>1那么显然有e|a/d,e|b/d,从而ed|a,ed|b,从而gcd(a,b)=ed>d.与假设矛盾.证毕.如果,gcd(p,q)=1,那么称\frac{p}{q}为既约分数.推论若,a,b 为整数,则存在p,q 互素,使得\frac{a}{b}=\frac{p}{q}(证明很简单)定理2令a,b,c 为整数,那么 gcd(a+cb,b)=gcd(a,b)\\ 证明:显然若 e为a,b 的一个公因数,则e 为a+cb,b 的公因数.反之,亦然.因为,f|(a+cb)-cb.定义:a,b,m,n 均为整数.称ma+nb为a,b 的线性组合.裴蜀定理如果a,b 均为整数,则有整数m和nm,使得 ma+nb=gcd(a,b)\\ 其中该等式又被称为裴蜀等式,m,n 被称为裴蜀数.注意到 a(m+bu)+b(n-au)=gcd(a,b)\\ 故满足等式的m,n 有无穷多对.引理(定理3)两个不全为0的整数,a,b 的最大公因数是其线性组合中最小的正整数.证明:不妨设d是a,b线性组合中最小的正整数.考虑带余除法:a=dq+r ,得到,r=a-dq=a-q(ma+nb)=(1-qm)a-qmb说明r是其线性组合,故r=0.即d|a同理:d|b,故d 为a,b 的公因数.下证,d 为最大公因数:设 e=gcd(a,b),故d|e,又e|ma+nb 即e|d故e=d证毕.这个定理十分重要!由引理,裴蜀定理显然成立.推论a,b 互素当且仅当存在整数m,n 使得ma+nb=1证明:正推显然.若存在整数m,n 使得ma+nb=1显然1为最小的正整数,故gcd(a,b)=1定理4如果a,b是整数,那么所有a,b的线性组合所构成的集合与所有gcd(a,b)的倍数 所构成的集合相同.换言之,所有a,b 的线性组合,都是gcd(a,b)的倍数.证明:设d=gcd(a,b), 则d|a,d|b.故d|(ma+nb)故所有的线性组合,都是d 的倍数.下证,d所有的倍数都是a,b 的线性组合.由定理3,存在r,s 使得d=ra+sb,从而kd=kra+ksb.证毕.定理5第二定义如果a,b 是不全为0的整数,那么正整数d是a,b的最大公因数,当且仅当d|a,d|b(即d 为a,b 的因数);如果c 为整数且c|a,c|b,那么c|d(即a,b 的所有因数,都是d 的因数);证明:首先,设 d 为a,b 的最大公因数,显然满足1根据定理3,d=ma+nb,对于a,b 的任意公因数c.显然有c|ma+nb \Rightarrow c|d.反推:由1 由d 是a,b 的最大公因数,对于任意一个公因数c 我们有c|d,即d=kc \geq c.故d 为a,b 的最大公因数.证毕.拓展定义令a_1,a_2,\dots,a_n为不全为0 的整数,如果d 为他们公因子中最大的一个,则称d 为a_1,a_2,\dots a_n 的最大公因数.记为gcd(a_1,a_2,\dots,a_n)=d定理6gcd(a_1,a_2,\dots,a_n)=gcd(a_1,a_2,\dots,gcd(a_{k-1},a_k),\dots,a_n)证明:考虑证明 a_1,a_2,\dots,a_n 和 a_1,a_2,\dots,gcd(a_{k-1},a_k),\dots,a_n 的公因数集合完全相同.不妨分别设为A,B.首先,a_1,a_2,\dots,a_n 的公因子一定是a_{k-1},a_k 的公因子.因此是gcd(a_{k-1},a_k)的因子.同时 a_1,a_2,\dots,a_n 的公因子一定是a_1,a_2,\dots,a_{k-2},a_{k+1},\dots,a_n 的公因子.故A \subseteq B假设d\in B,则d|gcd(a_{k-1},a_k),则d|a_{k+1},d|a_k同时d 为其余所有数的因数,故,d\in A故 B\subseteq A 证毕.互素:我们称 a_1,a_2,\dots,a_n 互素,如果 gcd(a_1,a_2,\dots,a_n)=1两两互素:如果 a_1,a_2,\dots,a_n 任意两个数互素,则称这些整数两两互素.定理7若gcd(a,m)=1,gcd(b,m)=1 ,则gcd(ab,m)=1,从而若gcd(a,b)=1 则 gcd(a^k,b^l)=1.定理8设正整数a,b之积 是一个整数的k 次幂(k \geq 2).若gcd(a,b)=1. 则a,b 都是整数的k 次幂.一般地:设正整数a_1,a_2,\dots,a_n 之积是一个正整数的k 次幂.若 a_1,a_2,\dots,a_n 两两互素,则a_1,a_2,\dots ,a_n 都是整数的k 次幂.这个定理的证明较困难,我们首先给出引理:引理gcd(a^k,b^k)=gcd^k(a,b)证明:注意到:gcd(a^k,b^k)= gcd^k(a,b)gcd((\frac{a}{gcd(a,b)})^k,(\frac{b}{gcd(a.b)})^k)而gcd(\frac{a}{gcd(a,b)},\frac{b}{gcd(a.b)})=1由定理7显然证毕.推广gcd(a_1^k,a_2^k,\dots ,a_n^k)=gcd^k(a_1,a_2,\dots a_n) 证明:注意到: gcd(a_1^k,a_2^k,\dots ,a_n^k)=gcd^k(a_1,a_2,\dots a_n)gcd((\frac{a_1}{gcd(a_1,a_2,\dots a_n)})^k,(\frac{a_2}{gcd(a_1,a_2,\dots a_n)})^k,\dots,(\frac{a_n}{gcd(a_1,a_2,\dots a_n)})^k) 显然证毕.定理8证明:令a_1a_2\dots a_n=c^k有gcd(a_1^{k-1},a_2a_3\dots a_n)=1假设gcd(a_1,c)=d有gcd(a_1^k,c^k)=d^k而gcd(a_1^k,c^k) =a_1gcd(a_1{k-1},a_2a_3\dots a_n)=a1同理:对于其他,都成立.证毕.此时,注意到a_i=gcd^k(ai,c)本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布编辑于 2024-01-17 22:26・IP 属地中国香港初等数论赞同 2添加评论分享喜欢收藏申请转载文章被以下专栏收 最大公因数计算器 工具首页 收藏本页 热门工具 元器件类 电路计算 科学计算器 RF/射频计算 常用工具 网络工具 5色环电阻阻值 4色环电阻阻值 三极管偏置电压 稳压二极管应用 聚脂电容色码 音箱分频器电路 惠斯登电桥 智能计算器 功率换算器 频率及波长转换 温度换算器 电阻电流电压计算 DC-DC电路计算 IP地址查询 最大公因数 / 公约数 最大公因数和公约数计算器
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求最大公因数的两种方法（高效方法）_求最大公因数的方法-CSDN博客
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数论学习笔记1---最大公因数 - 知乎
公因数_百度百科
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【初等数论(闵嗣鹤、严士健)笔记】1.2最大公因数和辗转相除法 - 知乎